TI POLITALA MATDIS 1C

KOMBINATORIAL

Kombinatorial merupakan salah satu pokok bahasan Matematika Diskrit yang telah banyak dikembangkan dan diaplikasikan dalam berbagai bidang. Dalam perkembangan Matematika, dapat dilihat bahwa kajian kombinatorial sangat menarik bagi sebagian orang. Salah satu contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan kombinatorial adalah menghitung banyaknya kombinasi angka nomor polisi mobil, di mana nomor polisi terdiri atas lima angka dan diikuti dua huruf, serta angka pertama bukan nol.
 
Cara paling sederhana untuk menyelesaikan persolan sejenis adalah dengan mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya. Mengenumerasi berarti mencacah atau menghitung satu per satu setiap kemungkinan jawaban. Akan tetapi enumerasi masih mungkin dilakukan jika jumlah objek sedikit, sedangkan untuk persoalan di atas, cara enumerasi jelas tidak efisien. Misalnya untuk menjawab persoalan di atas, apabila kita melakukan enumerasi, maka kemungkinan jawabannya adalah sebagai berikut:
12345AB
12345AC
12345BC
34567MT
34567ML
dan seterusnya…
Di sinilah peran kombinatorial, yang merupakan “seni berhitung”, menyelesaikan persoalan semacam ini dengan cepat. Demikian juga dalam permainan Poker. Peluang seorang pemain untuk mendapatkan kombinasi lima kartu yang ada dapat dihitung dengan cepat dengan menggunakan kombinatorial. Pada dasarnya, Poker adalah permainan berdasarkan keberuntungan. Oleh karena itu, pemain yang mendapat kartu yang paling sulit didapatkan (artinya, memiliki peluang kemunculan sangat kecil) adalah pemenangnya. Dengan demikian, urutan bagus atau tidaknya suatu kartu dapat dihitung secara matematis dengan menggunakan kombinatorial dan teori peluang.

Teori Kombinatorial
Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.

Kaidah Dasar Menghitung
1.    Kaidah Perkalian (rule of product)
Misalkan percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan, dan percobaan 2 mempunyai q hasil, maka bila percobaan 1 dan percobaan 2 dilakukan akan terdapat p × q hasil percobaan.
2.    Kaidah Penjumlahan (rule of sum)
Misalkan percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan, dan percobaan 2 mempunyai q hasil, maka bila percobaan 1 atau percobaan 2 dilakukan (hanya salah satu percobaan saja yang
dilakukan) akan terdapat p + q hasil percobaan.

Permutasi
Permutasi adalah jumlah urutan yang berbeda dari pengaturan objek-objek. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian.

Misalkan jumlah objek adalah n, maka
Urutan pertama dipilih dari n objek,
urutan kedua dipilih dari (n – 1) objek,
urutan kedua dipilih dari (n – 2) objek,
…
urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa.
Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah n(n – 1)(n – 2) … (2)(1) = n!
Rumus permutasi-r (jumlah susunan berbeda dari pemilihan r objek yang diambil dari n objek), dilambangkan dengan P(n,r):

Kombinasi dengan Pengulangan
Tulislah semua kombinasi-3 dari {a, b, c, d} sedemikian sehingga pengulangan diperbolehkan.
Pembahasan Karena urutan dari anggota yang dipilih tidak diperhatikan, maka sebaiknya kita menulis kombinasi-3 tersebut dengan urutan menaik, untuk memastikan bahwa tidak adanya kombinasi yang sama ditulis lebih dari satu kali.
[a, a, a], [a, a, b], [a, a, c], [a, a, d]
[a, b, b], [a, b, c], [a, b, d]
[a, c, c], [a, c, d], [a, d, d]
[b, b, b], [b, b, c], [b, b, d]
[b, c, c], [b, c, d], [b, d, d]
[c, c, c], [c, c, d], [c, d, d]
[d, d, d]
Jadi, terdapat 20 kombinasi-3 dari {a, b, c, d} sedemikian sehingga pengulangan diperbolehkan.

Teori Peluang  
Kombinatorial dan teori peluang (probability) berkaitan sangat erat. Teori peluang banyak menggunakan konsep-konsep dalam kombinatorial. Sebenarnya kedua bidang ini lahir dari arena judi (gambling games) – salah satu kasusnya adalah menghitung peluang munculnya nomor lotre tertentu. Meskipun demikian, aplikasi kombinatorial dan teori peluang saat ini telah meluas ke berbagai bidang ilmu lain maupun dalam kehidupan nyata seperti ilmu statistika, fisika, ekonomi, biologi, dan berbagai bidang ilmu lainnya.

Kejadian (event)
Kejadian –disimbolkan dengan E– adalah himpunan bagian dari ruang contoh. Misalnya pada percobaan melempar dadu, kejadian munculnya angka ganjil adalah E = {1,3,5}, kejadian munculnya angka 1 adalah E = {1}.
Kejadian yang hanya mengandung satu titik contoh disebut kejadian sederhana (simple event), sedangkan kejadian yang mengandung lebih dari satu titik contoh disebut kejadian majemuk (compound event).
Peluang Kejadian
Peluang Kejadian E di dalam ruang contoh S dapat diartikan sebagai jumlah peluang semua titik contoh di dalam E.

Contoh:
Dua buah dadu dilemparkan. Berapa peluang munculnya angka-angka dadu yang jumlahnya
sama dengan 8?
Penyelesaian:
Jumlah hasil percobaan yang muncul adalah (dengan menggunakan kaidah perkalian)
6 × 6 = 36
Ruang contohnya adalah
S = {(1,1), (1,2), …, (1,6), (2,1), (2,2), …, (2,6), …, (6,1), (6,2), …, (6,6)}, semuanya ada 36 elemen.
Kejadian munculnya jumlah angka dadu sama dengan 8 adalah E = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}, ada 5 elemen.
Peluang munculnya jumlah angka sama dengan 8 adalah 5/36.